O cálculo fracionário: aspectos históricos e relevância na modelagem de solução de problemas

Abstract

Este trabalho apresenta uma revisão histórica das contribuições na evolução da teoria do cálculo fracionário e sua aplicação na modelagem para solução de problemas teóricos e empíricos. Além disso, busca trazer formulações clássicas e recentes, inserindo-se no debate atual sobre a nova derivada conformável. Para exemplificar o estado da arte, apresenta-se uma solução analítica da equação de difusão-advecção bidimensional, em um problema de dispersão de poluentes na atmosfera, com a utilização da derivada conformável e o método da decomposição por Laplace (MDL). O problema da inconsistência dimensional introduzido pelas derivadas fracionárias é discutido, apresentando-se uma hipótese para a correção da dimensão (φ1−α) no termo advectivo. Observou-se que a escala de comprimento de Kolmogorov apresentou o melhor desempenho para a correção dimensional através da comparação com os dados experimentais de Copenhagen. Ressalta-se que a derivada conformável transforma uma equação fracionária em um problema de ordem inteira, fazendo com o que o efeito de memória, intrínseco as derivadas fracionárias, seja perdido na solução do problema. ABSTRACT: This work presents a historical review of the contributions in the evolution of the theory of fractional calculus and its application in modeling to solve theoretical and empirical problems. In addition, it seeks to bring classic and recent formulations, inserting itself in the debate current over the new conformable derivative. To exemplify the state of the art, we present an analytical solution of the two-dimensional diffusion-advection equation, in a problem dispersion of pollutants in the atmosphere, using the conformable derivative and the Laplace decomposition method (CDM). The problem of dimensional inconsistency introduced by the fractional derivatives is discussed, presenting a hypothesis for the correction of the dimension (φ1−α) in the advective term. It was observed that the length scale Kolmogorov presented the best performance for the dimensional correction by comparison with the experimental data from Copenhagen. It is noteworthy that the conformable derivative turns a fractional equation into an integer-order problem, causing the memory effect, intrinsic to fractional derivatives, to be lost in solving the problem.